Relasi Fungsi / Komposisi Fungsi-Fungsi Invers

Hal-Hal Khusus
Matematika Kelas 1 >Relasi Fungsi / Komposisi Fungsi-Fungsi Invers

FUNGSI ASAL	FUNGSI INVERS
f(x) = ax+b ; a ¹ 0	f-1(x) = (x-b)/a ; a ¹ 0
f(x) = (ax+b)/(cx+d) ; x ¹ -d/c	f-1(x) = (-dx+b)/(cx-a) ; x ¹ a/c
f(x) = ax² + bx + c ; a ¹ 0	f-1(x) = (-b+Ö(b²-4a(c-x))/2a ; a ¹ 0
f(x) = a log cx ; a > 0 ¹ 1 ; cx>0	f-1(x) = ax/c ; c ¹ 0
f(x) = acx ; a > 0 ¹ 1	f-1(x) = alog x1/c = 1/c alog x ; c¹0

f(x) = x² untuk X > 0 ® f^-1(x) = Öx untuk X > 0




Invers Dari Fungsi Komposisi
Matematika Kelas 1 >Relasi Fungsi / Komposisi Fungsi-Fungsi Invers


contoh:

1. Tentukan diagram fungsi di bawah ini ada inversnya atau tidak
   
   
   
   
   
2. Tentukan grafik di bawah ini mempunyai invers/tidak !
   
   
   CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK MEMPUNYAI INVERS/TIDAK
   Tarik sembarang garis sejajar sumbu x, bila memotong grafik hanya di satu titik, maka grafik tersebut mempunyai invers. Bila tidak demikian, maka grafik tersebut tidak mempunyai invers
   
3. Diketahui f: R ® R
   f(x) = 2x - 3
   
   Tentukan f^-1 (x) !
   
   Jawab:
   
   f one one onto
   sehingga f mempunyai invers
   misalkan y = image dari x
   y = f(x)
   y = 2x-3 (yang berarti x = f^-1(y))
   x = (y+3)/2
   f^-1(x) = (x+3)/2
4. Diketahui f: A ® B
   f(x) = (x - 2)/(x - 3)
   dengan A = {R - {3}} dan B = {R - {-1}}
   (baca: A adalah himpunan bilangan riil kecuali 33)
   
   Tentukan f^-1(x)
   
   Jawab:
   
   y = (x - 2)/(x - 3)
   y(x - 3) = x - 2
   yx - 3y = x - 2
   x(y - 1) = 3y - 2
   x = (3y - 2)/(y - 1) ® f^-1(x) = (3x - 2)/(x - 1)

Fungsi Invers
Matematika Kelas 1 >Relasi Fungsi / Komposisi Fungsi-Fungsi Invers

f : A ® B

ket : f : y = f(x) cara mencari fungsi invers f-1 : x = f(y) ® nyatakan x dalam y

 

Komposisi Fungsi Matematika Kelas 1 >Relasi Fungsi / Komposisi Fungsi-Fungsi Invers

 

Jenis-Jenis Fungsi Matematika Kelas 1 >Relasi Fungsi / Komposisi Fungsi-Fungsi Invers

 f : A ® B

ONE ONE (INJEKTIF) Tidak ada dua elemen yang berlainan di A, yang mempunyai pasangan yang sama di B.
ONTO (SURJEKTIF) Semua elemen di B merupakan peta dari elemen-elemen A (Range A = B atau f(A) = B)
ONE-ONE (BIJEKTIF)/KORESPONDENSI 1-1

1. Nyatakan diagram di bawah ini, menyatakan fungsi/bukan !
   A = {a,b,c} dan B = {x,y,z}
   
   
                  bukan                           bukan                           fungsi                          fungsi
   
   
2. Nyatakan diagram di bawah ini, menyatakan fungsi atau bukan !
   
    a. y = 3 - x                 b. y = x²                        c. y = x
   
   
         a. Fungsi                       b. Fungsi                            c. Fungsi
   
   d. x = y²                     e. y = sin x                     f. x² + y² = 25
   
   
   
   CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK ADALAH FUNGSI ATAU BUKAN
   
   Tarik sembarang garis lurus sejajar sumbu y. Bila hanya memotong di satu titik pada grafik, maka grafik tersebut merupakan fungsi. Bila tidak demikian maka grafik tersebut bukan merupakan fungsi.
   
   
3. Bila V = {-2,-1,0,1,2}
   g : V ® R; R = riil
   g(x) = x² + 1
   Tentukan range !!!
   
   Jawab:
   
   Domain = {-2, -1, 0, 1, 2}
   Image dari g adalah :
   g(-2) = 5
   g(-1) = 2
   g(0) = 1
   g(1) = 2
   g(2) = 5
   
   maka range = {1, 2, 5}
   
4. Tentukan domain dan range dari y = Ö(x - 1)
   syarat : (x - 1) ³ 0
   
   Jawab :
   
   D = { x ½ x ³ 1}
   R = { y ½ y ³ 0}
   
5. Tentukan range dari f(x) = x² pada domain [1, -4]
   
   Jawab:
   
   Domain : f(x) = x²
   -1 £ x £ 4
   0 £ x £ 16
   0 £ y £ 16
   Range : [0, 16]

 

Fungsi Matematika Kelas 1 >Relasi Fungsi / Komposisi Fungsi-Fungsi Invers

1. Himpunan A disebut DOMAIN fungsi, dan himpunan B disebut CODOMAIN fungsi.
   
   
2. Bila a Î A, maka b Î B yang menyatakan pasangan dari A, disebut image (peta) dari A.
   
   ditulis f(a) = b
   
   
3. Kumpulan dari image-image a Î A di B, membentuk range fungsi.
   
   range = f(A)

Relasi
Matematika Kelas 1 >Relasi Fungsi / Komposisi Fungsi-Fungsi Invers

1. Himpunan A
   
2. Himpunan B
   
3. Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.
   Dimana x bersesuaian dengan a Î A dengan y bersesuaian dengan b Î B.
   ® Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
   ® Bila tidak demikian maka a R b
   

B. SEBUAH RELASI DAPAT DINYATAKAN DENGAN:

1. Himpunan Pasangan Berurutan (a,b)
   
2. Kalimat terbuka P(x,y)
   
3. Diagram cartesius ( diagram A x B )
   
4. Diagram panah
   
   ® bila R adalah sebuah relasi, maka himpunan dari relasi ini adalah:
   
   R = {(a,b) ½ a Î A; b Î B; P(a,b) adalah betul}
   
   Ket: Jika A=B, maka P(x,y) mendefinisikan sebuah relasi di dalam A.
   
   contoh :
   
   R = (A,B, P(x,y))
   A = {2,3,4}
   B = {3,4,5,6}
   P(x,y) menyatakan x pembagi y
   
   Himpunan penyelesaian relasi ini adalah
   
   a. Himpunan pasangan berurutan
   
   R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}
   
   
   b. Diagram cartesius
   
   
   
   
   c. Diagram panah
   
   
   
   

RELASI INVERS contoh:
A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
Domain = {2,4}
Range = {a,c}