Pertidaksamaan
Jenis-Jenis Pertidaksamaan
Matematika Kelas 1 > Pertidaksamaan
Contoh:
-8 £ x <1
Cara Menentukan Penyelesaian Beberapa Garis Bilangan
Matematika Kelas 1 > Pertidaksamaan
Ket :
bila melewati batas tunggal (rangkap ganjil) maka tanda pada interval berikutnya berubah, bila melewati batas rangkap genap maka tanda pada interval berikutnya tetap.
Garis Bilangan
Matematika Kelas 1 > Pertidaksamaan
Dipergunakan untuk mengetahui nilai (+/-) suatu fungsi pada interval tertentu.
Batas pada garis bilangan didapat dari harga nol fungsi (angka yang menjadikan fungsi bernilai 0), sehingga fungsi bernilai nol pada batas tersebut, dan bernilai (+/-) pada interval lainnya.
Untuk menentukan nilai (+/-) suatu fungsi dalam suatu interval, langkah pertama adalah mencari nilai nolnya sebagai batas interval pada garis bilangan, kemudian substitusi sembarang bilangan yang mewakili suatu interval.
Untuk memudahkan mengetahui daerah (+/-) biasanya dicek angka 0 atau daerah yang diuji adalah daerah paling kanan (bilangan besar sekali) sehingga tanda (+/-) cukup dengan melihat hasil perkalian/pembagian tanda dari koefisien variabel.
Bila hasil substitusi tersebut bernilai positif maka interval di mana bilangan itu berada adalah juga bernilai positif, bila hasil substitusi tersebut bernilai negatif maka interval di mana bilangan itu berada juga
Sifat-Sifat Pertidaksamaan
Matematika Kelas 1 > Pertidaksamaan
a > b ® a - b > 0
a = b ® a - b = 0
a < b ® a - b < 0
prinsip: nilai bilangan harus jelas positif, nol atau negatif
a + b < c ® a + b - c < 0
atau
c-a-b>0
Ditambah/Dikurangi dengan bilangan yang sama
Dikali/Dibagi dengan bilangan positif yang sama
Tanda tetap
Dikali/dibagi dengan bilangan negatif yang sama
Pangkat Genap
Pangkat Ganjil
Kebalikan
Matematika Kelas 1 > Pertidaksamaan
A. PERTIDAKSAMAAN LINIER (PANGKAT SATU)
Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier dalam x.
Penyelesaian:
Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta.
Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta.
Contoh :
| 2x - 3 > 5 ® 2x > 5 + 3 ijgeiirjirijrigir j 2x > 8 gehghhejehh2x > 2 | gambar |
B. PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL (BENTUK AKAR)
Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda akar.
Penyelesaian:
- Susunlah dahulu bila kedua ruas seimbang.
(Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri, satu di ruas kanan; bila ada tiga tanda akar letakkan satu di ruas kiri, dua di ruas kanan atau sebaliknya).
- Kuadratkan kedua ruasnya.
(tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah bilangan positif).
- Selesaikan pertidaksamaannya ................. (1)
syarat: bilangan di bawah tanda akar harus non negatif (³ 0)...(2)
(pembicaraan adalah mengenai bilangan riil)
- Jawabannya adalah yang memenuhi syarat (1) dan (2) di atas.
| 1. Ö(x-2) < 2 ® kuadratkan x - 2 < 4 x < 6 ® syarat : x - 2 ³ 0 x ³ 2  2 £ x < 6 | 2. Ö(-x + 3) - Ö(2x + 1) > 0 seimbangkan Ö(-x+3) > Ö(2x+1) ® kuadratkan -x + 3 > 2x + 1 3x < 2 x < 2/3 ® syarat : -x + 3 ³ 0 ® x £ 3 dan 2x + 1 ³ 0 ® x ³ -1/2  -1/2 £ x < 2/3 |
C. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT (PANGKAT DUA)
Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya :
ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a ¹ 0.
ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a ¹ 0.
Penyelesaian:
contoh:- Jadikan ruas kanan = 0
- Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
- Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
- Tetapkan nilai-nilai nolnya
- Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
- Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
x² + x - 2 > 0
(x + 2) (x - 1) > 0
(x + 2) (x - 1) > 0
x < -2 atau x > 1
D. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN
Yaitu pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x.
Penyelesaian:
- Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak) - Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
- Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan ¹ 0
contoh :
-8 £ x <1
(2x + 7)/(x - 1) £ 1
(2x + 7)/(x - 1) - 1 £ 0
(2x + 7)/(x - 1) - (x - 1)/(x - 1) £ 0 ® (x + 8)/(x - 1) £ 0
(2x + 7)/(x - 1) - 1 £ 0
(2x + 7)/(x - 1) - (x - 1)/(x - 1) £ 0 ® (x + 8)/(x - 1) £ 0
syarat : penyebut (x-1) ¹ 0
x ¹ 1
x ¹ 1
E. PERTIDAKSAMAAN DERAJAT TINGGI (Derajat > 3)
Penyelesaian:
contoh:- Terlebih dahulu usahakan disederhanakan. Bila ada bentuk kuadrat yang definit (selalu) bernilai positif ( D < 0 ; a > 0) langsung dapat dihilangkan.Tanda pertidaksamaan tetap.
Bila ada bentuk kuadrat yang definit negatif ( D < 0 ; a < 0) dapat dihilangkan asal tanda pertidaksamaannya berubah.
- Selanjutnya sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Dengan catatan, tanda pada garis bilangan akan berubah jika melewati harga nol yang tunggal (rangkap ganjil) dan tanda akan tetap jika melewati harga nol yang rangkap genap.
- (x - 1/2) (x² - 3x - 4) (x² - 6x + 9) < 0
(x -1/2) (x - 4) (x - 1) (x - 3)² < 0
x < 1 atau 1/2 < x < 3 atau 3 < x < 4
- (3x² + x + 2)/(x² + 4x - 12) > 0
Bentuk (3X² + X + 2) adalah definit (selalu bernilai) positif, karena:
D = (1)² - 4(3)(2) = -23 dan a = 3
D < 0 dan a > 0
Sehingga (3x² + x + 2) dapat dihilangkan, soal menjadi
(+)/(X² + 4X - 12) > 0 ® (+)/(X + 6) (X - 2) > 0
X < -6 atau X > 2
Yaitu pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak.
Batasan : |x| = x jika x > 0
0 jika x = 0
-x jika x < 0 keterangan : |x| ³ 0
masalah : menghilangkan tanda mutlak.
Penyelesaian:
Batasan : |x| = x jika x > 0
0 jika x = 0
-x jika x < 0 keterangan : |x| ³ 0
masalah : menghilangkan tanda mutlak.
Penyelesaian:
Untuk a > 0
| ½x½< a « -a < x < a | ½x½ > a « x < -a atau x > a | ½x½ = a « x = ±a |
secara umum:
menghilangkan tanda mutlak adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas
atau
|x| < a ® x² < a² ® x² - a² < 0 ® (x-a)(x+a) < 0 ® -a < x < a
|x| > a ® x² > a² ® x² - a² > 0 ® (x-a)(x+a) > 0 ® x<-a atau x>a
keterangan:
|x| < -a TM
|x| > -a "x
|a/b| < c « |a| < c|b|
|x| > -a "x
|a/b| < c « |a| < c|b|
Cara Menentukan Penyelesaian Beberapa Garis Bilangan
Matematika Kelas 1 > Pertidaksamaan
Andaikan a < b
 Ambil yang paling kanan | Ambil yang paling kiri |
| Ambil yang berada diantaranya | |
contoh :
1. UNTUK BATAS TUNGGAL
f(x) = (x - a) (x - b)
f(x) < 0 untuk a < x < b
f(x) > 0 untuk x < a atau x > b
f(x) > 0 untuk x < a atau x > b
| HAL KHUSUS | |
| Bila koefisien x² adalah (+), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut: (+) | (-) | (+) | Bila koefisien x² adalah (-), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut : (-) | (+) | (-) |
2. UNTUK BATAS RANGKAP
| f(x) = (x - a)² (x - b) | f(x) = (x - a) (x - b)² |
| (-) || - | (+) a b | (-) | - || (+) a b |
| f(x) < 0 untuk x < b ; x ¹ a f(x) > 0 untuk x > b | f(x) < 0 untuk x < a f(x) untuk x > a ; x ¹ b |
bila melewati batas tunggal (rangkap ganjil) maka tanda pada interval berikutnya berubah, bila melewati batas rangkap genap maka tanda pada interval berikutnya tetap.
Garis Bilangan
Matematika Kelas 1 > Pertidaksamaan
Dipergunakan untuk mengetahui nilai (+/-) suatu fungsi pada interval tertentu.
Batas pada garis bilangan didapat dari harga nol fungsi (angka yang menjadikan fungsi bernilai 0), sehingga fungsi bernilai nol pada batas tersebut, dan bernilai (+/-) pada interval lainnya.
Untuk menentukan nilai (+/-) suatu fungsi dalam suatu interval, langkah pertama adalah mencari nilai nolnya sebagai batas interval pada garis bilangan, kemudian substitusi sembarang bilangan yang mewakili suatu interval.
Untuk memudahkan mengetahui daerah (+/-) biasanya dicek angka 0 atau daerah yang diuji adalah daerah paling kanan (bilangan besar sekali) sehingga tanda (+/-) cukup dengan melihat hasil perkalian/pembagian tanda dari koefisien variabel.
Bila hasil substitusi tersebut bernilai positif maka interval di mana bilangan itu berada adalah juga bernilai positif, bila hasil substitusi tersebut bernilai negatif maka interval di mana bilangan itu berada juga
Sifat-Sifat Pertidaksamaan
Matematika Kelas 1 > Pertidaksamaan
Antara dua bilangan a dan b terdapat hubungan :
| a > b ; a = b atau a < b |
a = b ® a - b = 0
a < b ® a - b < 0
prinsip: nilai bilangan harus jelas positif, nol atau negatif
atau
c-a-b>0
| a < b ® | { | a + c < b + c |
| a - c < b - c |
| a < b | } | ® | { | ac < bc |
| c > 0 | a/c < b/c |
Tanda tetap
| a < b | } | ® | { | ad > bd | TANDA BERUBAH |
| d < 0 | a/d > b/d |
| a > 0 ; b > 0 | } | ® | a² < b² TANDA TETAP |
| a < b |
| a < 0 ; b < 0 | } | ® | a² > b² TANDA BERUBAH |
| a < b |
| a < b ® | { | a³ < b³ | ® TANDA TETAP |
| a5 < b5 | |||
| a7 < b7 |
| a > 0 ; b > 0 | } | ® | 1/a > 1/b TANDA BERUBAH |
| a < b |
| a < 0 ; b < 0 | } | ® | 1/a > 1/b TANDA BERUBAH |
| a < b |
Url Artikel :https://file-education.blogspot.com/2011/04/pertidaksamaan.html
Bergabung Menjadi Anggota Blog:
Berlanganan Artikel Kami Via E-mail:
0 comments:
Posting Komentar